Sifat-sifat Aljabar dan Urutan dalam ℝ
Sebelum menjelaskan tentang sifat-sifat ℝ
, diberikan terlebih dahulu tentang struktur
aljabar dari sistem bilangan real. Akan diberikan penjelasan
singkat mengenai sifat-sifat
dasar dari penjumlahan dan perkalian, sifat-sifat aljabar
lain yang dapat diturunkan
dalam beberapa aksioma dan teorema. Dalam terminologi
aljabar abstrak, sistem
bilangan real membentuk lapangan (field) terhadap operasi
biner penjumlahan dan
perkalian biasa.
Sifat-sifat Aljabar ℝ
Pada himpunan semua bilangan real ℝ terdapat
dua operasi biner, dinotasikan dengan
“+” dan “.” yang disebut dengan penjumlahan (addition) dan
perkalian
(multiplication). Operasi biner tersebut memenuhi
sifat-sifat berikut:
(A1) a + b = b + a untuk semua a,bÎℝ (sifat komutatif
penjumlahan)
(A2) (a + b) + c = a + (b + c) untuk semua a,b, cÎℝ
(sifat assosiatif penjumlahan)
(A3) terdapat 0Îℝ sedemikian hingga 0 + a = a dan a
+ 0 = a untuk semua aÎℝ
(eksistensi elemen nol)
(A4) untuk setiap aÎℝ terdapat -aÎℝ sedemikian hingga a + (-a) = 0
dan
(-a) + a = 0 (eksistensi elemen negatif atau invers
penjumlahan)
(M1) a ×b = b× a untuk semua a,bÎℝ (sifat
komutatif perkalian)
(M2) (a ×b) × c = a × (b × c) untuk semua a,b, cÎℝ
(sifat assosiatif perkalian)
(M3) terdapat 1Îℝ sedemikian hingga 1× a = a dan a ×1 = a untuk semua aÎℝ
(eksistensi elemen unit 1)
(M4)untuk setiap aÎℝ , a ¹ 0 terdapat Îℝ
sedemikian hingga a . ) dan ().a = 1
(eksistensi invers perkalian)
(D) a × (b + c) = (a ×b) + (a ×c) dan (b + c) ×a = (b ×a) +
(c × a) untuk semua a,b,cÎℝ
(sifat distributif perkalian atas penjumlahan)